▷ Δυαδικό, δεκαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα τι είναι και πώς λειτουργεί

Εάν είστε φοιτητής Πληροφορικής, ηλεκτρονικών ή οποιουδήποτε κλάδου της μηχανικής, ένα από τα πράγματα που πρέπει να ξέρετε είναι να πραγματοποιήσετε μετατροπές συστήματος αρίθμησης. Στον υπολογισμό, τα συστήματα αρίθμησης που χρησιμοποιούνται είναι διαφορετικά από αυτά που γνωρίζουμε παραδοσιακά, όπως και το δεκαδικό μας σύστημα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο, πολύ πιθανόν, αν αφιερώσουμε τον εαυτό μας στον τομέα τόσο της πληροφορικής, του προγραμματισμού όσο και της παρόμοιας τεχνολογίας, θα πρέπει να γνωρίζουμε τα πιο χρησιμοποιούμενα συστήματα και πώς να γνωρίζουμε πώς να μετατρέπουμε από το ένα σύστημα στο άλλο.

Ευρετήριο περιεχομένων

Πώς να πραγματοποιήσετε μετατροπές συστήματος αρίθμησης

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να γνωρίζουμε το σύστημα δεκαδικού προς δυαδικό σύστημα μετατροπής και το αντίστροφο, δεδομένου ότι είναι το σύστημα αρίθμησης με το οποίο τα στοιχεία ενός υπολογιστή λειτουργούν άμεσα. Αλλά είναι επίσης πολύ χρήσιμο να γνωρίζουμε το δεκαεξαδικό σύστημα, καθώς χρησιμοποιείται για παράδειγμα για να αναπαριστά τους κωδικούς χρώματος, τα πλήκτρα και έναν μεγάλο αριθμό κωδικών από την ομάδα μας.

Συστήματα αρίθμησης

Ένα σύστημα αρίθμησης αποτελείται από την αναπαράσταση ενός συνόλου συμβόλων και κανόνων που μας επιτρέπουν να χτίσουμε τους αριθμούς που είναι έγκυροι. Με άλλα λόγια, συνίσταται στη χρήση μιας σειράς οριακών συμβόλων με τα οποία θα είναι δυνατό να σχηματιστούν άλλες αριθμητικές τιμές χωρίς κανένα όριο.

Χωρίς να προχωρήσουμε πάρα πολύ στους μαθηματικούς όρους των ορισμών, τα συστήματα που χρησιμοποιούνται περισσότερο από τους ανθρώπους και τις μηχανές θα είναι τα εξής:

Δεκαδικό σύστημα

Πρόκειται για ένα σύστημα αρίθμησης θέσης στο οποίο οι ποσότητες αντιπροσωπεύονται από την αριθμητική βάση του αριθμού δέκα.

Δεδομένου ότι η βάση είναι η δέκατη, θα έχουμε τη δυνατότητα να χτίσουμε όλα τα στοιχεία χρησιμοποιώντας δέκα αριθμούς που είναι αυτοί που όλοι γνωρίζουμε. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Αυτοί οι αριθμοί θα χρησιμοποιηθούν για να αντιπροσωπεύσουν τη θέση των εξουσιών των 10 στο σχηματισμό οποιουδήποτε αριθμού.

Έτσι, θα μπορούσαμε να αντιπροσωπεύσουμε έναν αριθμό με τον ακόλουθο τρόπο σε αυτό το σύστημα αρίθμησης:

Βλέπουμε ότι ένας δεκαδικός αριθμός είναι το άθροισμα κάθε τιμής από τη βάση 10 που ανυψώνεται στη θέση-1 που καταλαμβάνει κάθε όρος. Αυτό θα έχουμε κατά νου για μετατροπές σε άλλα συστήματα αρίθμησης.

Δυαδικό σύστημα

Το δυαδικό σύστημα είναι ένα σύστημα αρίθμησης στο οποίο χρησιμοποιείται η αριθμητική βάση 2. Αυτό το σύστημα είναι εκείνο που χρησιμοποιείται από υπολογιστές και ψηφιακά συστήματα εσωτερικά για να πραγματοποιήσει απολύτως όλες τις διαδικασίες.

Αυτό το σύστημα αρίθμησης αντιπροσωπεύεται μόνο από δύο ψηφία, 0 και 1, γι 'αυτό βασίζεται σε 2 (δύο ψηφία), με το οποίο θα χτιστούν όλες οι αλυσίδες αξίας.

Οκταλικό σύστημα

Όπως και με τις προηγούμενες εξηγήσεις, μπορούμε ήδη να φανταστούμε τι πρόκειται για το οκταδικό σύστημα. Το σύστημα Οκτάλ είναι το σύστημα αρίθμησης στο οποίο χρησιμοποιείται η αριθμητική βάση 8, δηλαδή, θα έχουμε 8 διαφορετικά ψηφία για να αναπαριστούμε όλους τους αριθμούς. Αυτά θα είναι: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7.

Δεκαεξαδικό σύστημα

Σύμφωνα με τους προηγούμενους ορισμούς, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα αρίθμησης θέσης βασισμένο στον αριθμό 16. Σε αυτό το σημείο θα αναρωτηθούμε πώς θα πάρουμε 16 διαφορετικούς αριθμούς, αν για παράδειγμα 10 είναι ο συνδυασμός δύο αριθμών διαφορετικά;

Λοιπόν, πολύ απλό, τους εφηύριζαμε, όχι εμείς, αλλά εκείνους που εφευρέθηκαν το εν λόγω σύστημα. Οι αριθμοί που θα έχουμε εδώ θα είναι: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E και F. αυτό σημαίνει συνολικά 16 διαφορετικούς όρους. Εάν έχετε ρυθμίσει ποτέ τον αριθμητικό κώδικα ενός χρώματος, έχει αυτόν τον τύπο αρίθμησης και αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο θα δείτε πόσο λευκό, για παράδειγμα, αντιπροσωπεύεται ως τιμή FFFFFF. Θα δούμε αργότερα τι σημαίνει αυτό.

Μετατροπή μεταξύ δυαδικού και δεκαδικού συστήματος

Επειδή είναι το πιο βασικό και εύκολο να κατανοηθεί, θα ξεκινήσουμε με τη μετατροπή μεταξύ αυτών των δύο συστημάτων αρίθμησης.

Μετατροπή αριθμού από δυαδικό σε δεκαδικό

Όπως είδαμε στην πρώτη ενότητα, αντιπροσωπεύουμε έναν δεκαδικό αριθμό ως το άθροισμα των τιμών πολλαπλασιασμένο με τη δύναμη των 10 στη θέση-1 που καταλαμβάνει. Αν το εφαρμόσουμε σε οποιοδήποτε δυαδικό αριθμό, με την αντίστοιχη βάση του, θα έχουμε τα εξής:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Αλλά, φυσικά, εάν κάναμε τη διαδικασία όπως στο δεκαδικό σύστημα, θα έχουμε τιμές διαφορετικές από 0 και 1, οι οποίες είναι αυτές που μπορούμε να αντιπροσωπεύουμε μόνο σε αυτό το σύστημα αρίθμησης.

Αλλά ακριβώς αυτό θα είναι πολύ χρήσιμο για την εκτέλεση της μετατροπής στο δεκαδικό σύστημα. Ας υπολογίσουμε το αποτέλεσμα κάθε τιμής στο κουτί της:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Λοιπόν, αν κάνουμε το άθροισμα αυτών των τιμών που προκύπτουν από κάθε κελί, θα έχουμε την δεκαδική ισοδύναμη τιμή της δυαδικής τιμής.

Η δεκαδική τιμή του 100110 είναι 38

Απλά χρειαζόταν να πολλαπλασιάσουμε το ψηφίο (0 ή 1) με τη βάση του (2) να ανυψωθεί στη θέση-1 που καταλαμβάνει στο σχήμα. Προσθέτουμε τις τιμές και θα έχουμε τον αριθμό στο δεκαδικό.

Αν δεν είστε πεπεισμένοι, θα πραγματοποιήσουμε τώρα την αντίθετη διαδικασία:

Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό

Αν προηγουμένως κάναμε έναν πολλαπλασιασμό των αριθμών και ένα άθροισμα για να καθορίσουμε την δεκαδική τιμή, τώρα θα πρέπει να διαιρούμε τον δεκαδικό αριθμό από τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλουμε να το μετατρέψουμε, στην περίπτωση αυτή 2.

Θα εκτελέσουμε αυτή τη διαδικασία έως ότου δεν είναι πλέον δυνατή η περαιτέρω διάσπαση. Ας δούμε το παράδειγμα του πώς θα γίνει αυτό.

Αριθμός	38	19	9	4	2	1
Τμήμα	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Ξεκουραστείτε	0	1	1	0	0	1

Αυτό είναι το αποτέλεσμα της ελαχιστοποίησης των διαδοχικών διαιρέσεων. Μπορεί να έχετε ήδη συνειδητοποιήσει πώς λειτουργεί αυτό. Αν πάρουμε τώρα τα υπόλοιπα κάθε διαίρεσης και αναστρέψουμε τη θέση του, θα έχουμε τη δυαδική τιμή του δεκαδικού αριθμού. Δηλαδή, ξεκίνησε από εκεί που τερμάτισα το τμήμα προς τα πίσω:

Έτσι έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: 100110

Όπως μπορούμε να δούμε, καταφέραμε να έχουμε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την αρχή της ενότητας.

Μετατροπή κλασματικού δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό

Όπως γνωρίζουμε καλά, δεν υπάρχουν μόνο ολόκληροι δεκαδικοί αριθμοί, αλλά μπορούμε επίσης να βρούμε πραγματικούς αριθμούς (κλάσματα). Και ως σύστημα αρίθμησης, θα πρέπει να είναι δυνατή η μετατροπή ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα στο δυαδικό σύστημα. Βλέπουμε πώς να το κάνουμε. Ας πάρουμε τον αριθμό 38.375 ως παράδειγμα

Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να χωρίσουμε κάθε ένα από τα μέρη. Γνωρίζουμε ήδη πώς να υπολογίσουμε το ακέραιο τμήμα, οπότε θα πάμε κατευθείαν στο δεκαδικό τμήμα.

Η διαδικασία θα είναι η εξής: πρέπει να πάρουμε το δεκαδικό μέρος και να το πολλαπλασιάσουμε με τη βάση του συστήματος, δηλαδή 2. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε πάλι μέχρι να πάρουμε ένα κλασματικό τμήμα του 0. Αν κατά τον πολλαπλασιασμό εμφανίζεται ένας αριθμός φακέλου με ένα ακέραιο τμήμα, πρέπει να πάρουμε μόνο το κλάσμα για τον επόμενο πολλαπλασιασμό. Ας δούμε το παράδειγμα για να το καταλάβουμε καλύτερα.

Αριθμός	0, 375	0, 75	0.50
Πολλαπλασιασμός	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Ολόκληρο το μέρος	0	1	1

Όπως μπορούμε να δούμε, παίρνουμε το δεκαδικό μέρος και το πολλαπλασιάζουμε πάλι μέχρι να φτάσουμε στο 1, 00 όπου το αποτέλεσμα θα είναι πάντα 0.

Το αποτέλεσμα των 38.375 σε δυαδικό θα είναι τότε 100 110.011

Αλλά τι συμβαίνει όταν δεν μπορούμε ποτέ να φτάσουμε στο αποτέλεσμα των 1, 00 στη διαδικασία; Ας δούμε το παράδειγμα με 38, 45

Αριθμός	0, 45	0, 90	0.80	0, 60	0, 20	0.40	0.80
Πολλαπλασιασμός	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0.80	* 2 = 1, 60
Ολόκληρο το μέρος	0	1	1	1	0	0	1

Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε , από το 0, 80 η διαδικασία γίνεται περιοδική, δηλαδή δεν θα τελειώσουμε ποτέ τη διαδικασία γιατί οι αριθμοί από 0, 8 έως 0, 4 θα εμφανίζονται πάντα. Στη συνέχεια, το αποτέλεσμά μας θα είναι μια προσέγγιση του δεκαδικού αριθμού, όσο περισσότερο πηγαίνουμε, τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια θα αποκτήσουμε.

Έτσι: 38.45 = 100 110.01110011001 1001…

Ας δούμε πώς να κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία

Μετατροπή κλασματικού δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό

Αυτή η διαδικασία θα διεξαχθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η κανονική αλλαγή βάσης, εκτός από το ότι από το κόμμα οι εξουσίες θα είναι αρνητικές. Ας πάρουμε ακριβώς το ακέραιο μέρος του προηγούμενου δυαδικού αριθμού:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2-1 = 0	1 · 2-2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1, 2-7 = 0, 0078125	…

Αν προσθέσουμε τα αποτελέσματα που θα λάβουμε:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Εάν συνεχίσαμε να διεξάγουμε πράξεις, θα πλησιάσουμε και θα πλησιάσουμε την ακριβή τιμή των 38.45

Μετατροπή μεταξύ οκταδικού συστήματος και δυαδικού συστήματος

Τώρα θα δούμε πώς να πραγματοποιήσουμε τη μετατροπή μεταξύ δύο συστημάτων που δεν είναι το δεκαδικό, γι 'αυτό θα πάρουμε το οκταδικό σύστημα και το δυαδικό σύστημα και θα κάνουμε την ίδια διαδικασία όπως και στις προηγούμενες ενότητες.

Μετατροπή αριθμού από δυαδικό σε οκταδικό

Η μετατροπή μεταξύ των δύο συστημάτων αρίθμησης είναι πολύ απλή επειδή η βάση του οκταπλασιαστικού συστήματος είναι ίδια με αυτή του δυαδικού συστήματος αλλά ανυψώνεται στη δύναμη 3, 2 ³ = 8. Έτσι με βάση αυτό, αυτό που θα κάνουμε είναι να ομαδοποιήσουμε τους δυαδικούς όρους σε ομάδες των τριών, ξεκινώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά και μετατρέποντας άμεσα σε δεκαδικό αριθμό. Ας δούμε το παράδειγμα με τον αριθμό 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0, 2 0 = 0
4	6

Ομαδοποιούμε κάθε τρία ψηφία και κάνουμε τη μετατροπή στο δεκαδικό. Το τελικό αποτέλεσμα θα είναι ότι 100110 = 46

Τι γίνεται όμως αν δεν έχουμε τέλειες ομάδες των 3; Για παράδειγμα 1001101, έχουμε δύο ομάδες των 3 και μία από τις 1, ας δούμε πώς να προχωρήσουμε:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0, 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0, 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Ακολουθώντας τη διαδικασία, παίρνουμε τις ομάδες από τα δεξιά του όρου και όταν φτάνουμε στο τέλος γεμίζουμε με τόσα μηδενικά, όπως είναι απαραίτητο. Σε αυτή την περίπτωση, χρειαζόμαστε δύο για να ολοκληρώσουμε την τελευταία ομάδα. Έτσι 1001101 = 115

Μετατρέψτε τον οκταδικό αριθμό σε δυαδικό

Λοιπόν, η διαδικασία είναι τόσο απλή όσο κάνει το αντίθετο, δηλαδή πηγαίνουμε από δυαδικό σε δεκαδικό σε ομάδες των 3. Ας το δούμε με τον αριθμό 115

Τιμή	1	1	5
Τμήμα	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Ξεκουραστείτε	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Ομάδα	001	001	101

Με αυτό τον τρόπο βλέπουμε ότι 115 = 001001101 ή τι είναι το ίδιο 115 = 1001101

Μετατροπή μεταξύ οκταδικού συστήματος και δεκαδικού συστήματος

Τώρα θα δούμε πώς να εκτελέσουμε τη διαδικασία μετάβασης από το σύστημα των οκταγώνων αριθμών στο δεκαδικό και το αντίστροφο. Θα δούμε ότι η διαδικασία είναι ακριβώς η ίδια όπως στην περίπτωση του δεκαδικού και του δυαδικού συστήματος, μόνο θα πρέπει να αλλάξουμε τη βάση σε 8 αντί για 2.

Θα εκτελέσουμε τις διαδικασίες απευθείας με όρους με ένα μικρό μέρος.

Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό σε οκταδικό

Ακολουθώντας τη διαδικασία της δεκαδικής-δυαδικής μεθόδου θα την εκτελέσουμε με το παράδειγμα του 238.32:

Ολόκληρο το μέρος. Διαχωρίζουμε τη βάση, η οποία είναι 8:

Αριθμός	238	29	3
Τμήμα	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Ξεκουραστείτε	6	5	3

Δεκαδικό μέρος, πολλαπλασιάζουμε με βάση, που είναι 8:

Αριθμός	0, 32	0, 56	0, 48	0.84	0, 72	…
Πολλαπλασιασμός	* 8 = 2, 56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5.76	…
Ολόκληρο το μέρος	2	4	3	6	5	…

Το αποτέλεσμα που προέκυψε έχει ως εξής: 238.32 = 356.24365…

Μετατρέψτε τον οκταδικό αριθμό σε δεκαδικό

Λοιπόν, ας κάνουμε την αντίθετη διαδικασία. Ας περάσουμε τον οκταδικό αριθμό 356, 243 σε δεκαδικό:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8-1 = 0, 25	4 · 8-2 = 0, 0625	3 · 8-3 = 0, 005893

Το αποτέλεσμα είναι: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

Μετατροπή μεταξύ δεκαεξαδικού συστήματος και δεκαδικού συστήματος

Στη συνέχεια, ολοκληρώνουμε τη διαδικασία μετατροπής μεταξύ του δεκαεξαδικού συστήματος αρίθμησης και του δεκαδικού συστήματος.

Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό σε δεκαεξαδικό

Ακολουθώντας τη διαδικασία της δεκαδικής-δυαδικής και δεκαδικό-οκταδικό μεθόδου θα το εκτελέσουμε με το παράδειγμα του 238.32:

Ολόκληρο το μέρος. Διαχωρίζουμε από τη βάση, η οποία είναι 16:

Αριθμός	238	14
Τμήμα	÷ 16 = 14	-
Ξεκουραστείτε	Ε	Ε

Δεκαδικό μέρος, πολλαπλασιάζουμε με τη βάση, η οποία είναι 16:

Αριθμός	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Πολλαπλασιασμός	* 16 = 5.12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Ολόκληρο το μέρος	5	1	Ε	Β	8	…

Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι το εξής: 238.32 = EE, 51EB8…

Μετατρέψτε τον αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό

Λοιπόν, ας κάνουμε την αντίθετη διαδικασία. Ας περάσουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό EE, 51E σε δεκαδικό:

Ε	Ε	,	5	1	Ε
E16 1 = 224	Ε · 16 0 = 14		5 · 16-1 = 0, 3125	1 · 16-2 = 0, 003906	Ε16 -3 = 0, 00341

Το αποτέλεσμα είναι: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

Λοιπόν αυτοί είναι οι κύριοι τρόποι για να αλλάξετε τη βάση από το ένα σύστημα αρίθμησης στο άλλο. Το σύστημα είναι εφαρμόσιμο σε ένα σύστημα σε οποιαδήποτε βάση και το δεκαδικό σύστημα, αν και αυτά είναι τα πιο χρησιμοποιούμενα στον τομέα της πληροφορικής.

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, αφήστε τα στα σχόλια. Θα προσπαθήσουμε να σας βοηθήσουμε.